Atualizado em 25 de setembro de 2026.
A teoria dos conjuntos aparece em provas de Raciocínio Lógico e de Matemática de praticamente todas as bancas. Parte das questões é teórica, sobre símbolos, operações e conjuntos numéricos. A maior parte, porém, é de problemas práticos: pesquisas em que algumas pessoas gostam de um produto, outras de outro e algumas dos dois, resolvidos com diagramas de Venn. Com um método simples de preenchimento, esses problemas se tornam rápidos e seguros.
Este guia explica os conceitos e resolve os tipos de questão mais comuns, com todos os cálculos conferidos. Para os temas vizinhos, veja os guias de argumentos e silogismos, que também usa diagramas, e de probabilidade.
Conceitos e símbolos
| Símbolo | Significado | Exemplo |
|---|---|---|
| ∈ | Pertence: relaciona elemento e conjunto | 2 ∈ {1, 2, 3} |
| ∉ | Não pertence | 5 ∉ {1, 2, 3} |
| ⊂ | Está contido: relaciona conjunto e conjunto | {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} |
| ⊃ | Contém | {1, 2, 3} ⊃ {1, 2} |
| ∅ ou { } | Conjunto vazio | Conjunto dos meses com 32 dias |
Alguns fatos sobre inclusão são muito cobrados: o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, e todo conjunto está contido em si mesmo. Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos, sem importar a ordem ou a repetição.
Número de subconjuntos
Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos. Por exemplo, A = {1, 2, 3} tem 23 = 8 subconjuntos: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2, 3}. O conjunto formado por todos esses subconjuntos é chamado de conjunto das partes de A. Se a questão pedir os subconjuntos próprios, excluindo o próprio A, a resposta é 2n − 1.
Operações entre conjuntos
| Operação | Símbolo | Resultado para A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} |
|---|---|---|
| União: elementos de A ou de B | A ∪ B | {1, 2, 3, 4, 5} |
| Interseção: elementos de A e de B | A ∩ B | {3, 4} |
| Diferença: elementos de A que não estão em B | A − B | {1, 2} |
| Diferença: elementos de B que não estão em A | B − A | {5} |
O complementar de B em relação a A, quando B está contido em A, é o conjunto dos elementos de A que não estão em B, ou seja, A − B. Quando os conjuntos não têm elementos em comum, a interseção é vazia, e eles são chamados de disjuntos.
A fórmula da união
Ao somar os elementos de A e de B, os elementos da interseção são contados duas vezes. Por isso:
Para três conjuntos, a fórmula é:
Problema resolvido com dois conjuntos
Questão: em uma pesquisa com 100 candidatos, 60 estudam por videoaulas, 45 estudam por livros e 20 usam os dois métodos. Quantos usam pelo menos um método? Quantos não usam nenhum? Quantos usam apenas videoaulas?
- Coloque a interseção primeiro: 20 usam os dois.
- Apenas videoaulas: 60 − 20 = 40.
- Apenas livros: 45 − 20 = 25.
- Pelo menos um método: 40 + 25 + 20 = 85, o mesmo que 60 + 45 − 20.
- Nenhum método: 100 − 85 = 15.
Quando a incógnita é a interseção
Questão: em uma turma de 40 alunos, 25 gostam de Matemática, 18 gostam de Português e 5 não gostam de nenhuma das duas. Quantos gostam das duas?
Se 5 não gostam de nenhuma, 40 − 5 = 35 gostam de pelo menos uma. Pela fórmula, 35 = 25 + 18 − x, então x = 43 − 35 = 8 alunos gostam das duas.
O mesmo raciocínio vale com porcentagens. Se 70% de um grupo gostam de café, 50% gostam de chá e 10% não gostam de nenhum dos dois, então 90% gostam de pelo menos um, e 90 = 70 + 50 − x, logo 30% gostam dos dois.
Problema resolvido com três conjuntos
Questão: de 100 candidatos, 50 estudam Português, 40 estudam Direito e 30 estudam Informática. Estudam Português e Direito 15; Português e Informática, 10; Direito e Informática, 8; e as três matérias, 5. Quantos não estudam nenhuma delas? Quantos estudam exatamente uma?
O método: preencha o diagrama de dentro para fora.
- Centro, as três matérias: 5.
- Só Português e Direito: 15 − 5 = 10. Só Português e Informática: 10 − 5 = 5. Só Direito e Informática: 8 − 5 = 3.
- Só Português: 50 − 10 − 5 − 5 = 30. Só Direito: 40 − 10 − 3 − 5 = 22. Só Informática: 30 − 5 − 3 − 5 = 17.
- Pelo menos uma matéria: 30 + 22 + 17 + 10 + 5 + 3 + 5 = 92.
- Nenhuma: 100 − 92 = 8.
Exatamente uma matéria: 30 + 22 + 17 = 69. Exatamente duas: 10 + 5 + 3 = 18. A conferência pela fórmula dá o mesmo resultado: 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 8 + 5 = 92.
Conjuntos numéricos
| Conjunto | Símbolo | Elementos |
|---|---|---|
| Naturais | ℕ | 0, 1, 2, 3, … |
| Inteiros | ℤ | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| Racionais | ℚ | Números que podem ser escritos como fração de inteiros, com denominador diferente de zero, incluindo decimais finitos e dízimas periódicas |
| Irracionais | 𝕀 | Decimais infinitos e não periódicos, como √2 e π |
| Reais | ℝ | A união dos racionais com os irracionais |
Vale a relação ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, e os irracionais também estão contidos nos reais. Racionais e irracionais são disjuntos: nenhum número é os dois ao mesmo tempo. A dízima periódica 0,333… é racional, porque equivale a 1/3, e a raiz quadrada de 9 é natural, porque vale 3. Essas duas situações são pegadinhas clássicas.
Intervalos reais
Os intervalos representam subconjuntos dos reais. O colchete fechado inclui o extremo, e o aberto o exclui: [2, 5] inclui 2 e 5; ]2, 5[ ou (2, 5) exclui os dois; [2, 5[ inclui o 2 e exclui o 5. As operações de união e interseção também se aplicam a intervalos, e a forma mais segura de resolvê-las é desenhar os intervalos em retas paralelas e observar onde se sobrepõem.
Revisão rápida dos conceitos
Antes da prova, confira: pertence liga elemento a conjunto e está contido liga conjunto a conjunto; o vazio está contido em qualquer conjunto; um conjunto com n elementos tem 2 elevado a n subconjuntos; a união soma os conjuntos e subtrai a interseção; nos problemas de três conjuntos, o preenchimento começa pelo centro; e todo natural é inteiro, todo inteiro é racional e todo racional é real, enquanto racionais e irracionais não têm elementos em comum.
Dica para ganhar tempo
Em problemas de dois conjuntos, a fórmula da união resolve a questão em uma linha. Em problemas de três conjuntos, o diagrama é mais seguro que a fórmula, porque a questão costuma pedir regiões específicas, como os que estudam exatamente uma matéria. Treine os dois caminhos e use o que for mais rápido para cada tipo de pergunta. No final, confira se a soma de todas as regiões, mais os que não estão em nenhum conjunto, é igual ao total do enunciado.
Como o tema cai em prova
As questões mais comuns são os problemas de pesquisa com dois ou três conjuntos, seguidas das questões sobre símbolos de pertinência e inclusão, número de subconjuntos e classificação de números. Nos problemas, desenhe sempre o diagrama e preencha do centro para fora, e confira o total no final. Treine com questões da sua banca, cronometrando o tempo, e registre no caderno de erros os tipos em que errar. Para outras ferramentas de lógica, veja os guias de tabela-verdade e de sequências lógicas.
Perguntas frequentes
Como calcular o número de elementos da união de dois conjuntos?
Some os elementos de cada conjunto e subtraia os da interseção, que foram contados duas vezes: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Quantos subconjuntos tem um conjunto com n elementos?
2 elevado a n. Um conjunto com 3 elementos tem 8 subconjuntos, incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto.
Por onde começar um problema com diagrama de Venn?
Pela interseção de todos os conjuntos. Depois, preencha as interseções de dois em dois e, por último, as regiões exclusivas de cada conjunto, subtraindo o que já foi contado.
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