Atualizado em 25 de setembro de 2026.
MMC, MDC e frações são conteúdos básicos de Matemática que aparecem com frequência em provas de nível médio e fundamental, e também dentro de questões mais complexas de razão, porcentagem e equações. As bancas gostam especialmente de problemas contados em texto: ônibus que saem juntos, luzes que piscam em intervalos diferentes, tábuas cortadas em pedaços iguais e salários divididos em frações. A dificuldade quase nunca está no cálculo, e sim em saber qual ferramenta usar.
Este guia mostra como decidir entre MMC e MDC, resolve os problemas clássicos e revisa as operações com frações e as dízimas periódicas, com todos os cálculos conferidos. Os temas seguintes estão nos guias de razão e proporção e de equações e sistemas.
Critérios de divisibilidade
| Divisível por | Critério | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | Número par | 348 |
| 3 | Soma dos algarismos divisível por 3 | 471, porque 4 + 7 + 1 = 12 |
| 4 | Os dois últimos algarismos formam número divisível por 4 | 1.316, porque 16 é divisível por 4 |
| 5 | Termina em 0 ou 5 | 2.345 |
| 6 | Divisível por 2 e por 3 | 714 |
| 9 | Soma dos algarismos divisível por 9 | 819, porque 8 + 1 + 9 = 18 |
| 10 | Termina em 0 | 1.230 |
Números primos e fatoração
Número primo é o natural maior que 1 que tem apenas dois divisores: 1 e ele mesmo, como 2, 3, 5, 7, 11 e 13. O 2 é o único primo par. Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto em fatores primos: 72 = 2³ × 3², e 60 = 2² × 3 × 5.
- MDC, máximo divisor comum: produto dos fatores comuns, com os menores expoentes. MDC(72, 60) = 2² × 3 = 12.
- MMC, mínimo múltiplo comum: produto de todos os fatores, comuns e não comuns, com os maiores expoentes. MMC(72, 60) = 2³ × 3² × 5 = 360.
MMC ou MDC? Como decidir
| Use o | Quando o problema fala em | A resposta costuma ser |
|---|---|---|
| MMC | Coincidir de novo, encontrar-se, repetir ao mesmo tempo | Maior que os números dados |
| MDC | Dividir em partes iguais do maior tamanho possível, sem sobras | Menor que os números dados |
Problemas de MMC
Ônibus: dois ônibus saem juntos de um terminal às 8 horas. Um sai a cada 12 minutos, e o outro, a cada 18. Quando voltam a sair juntos? MMC(12, 18) = 36. Saem juntos de novo às 8h36.
Luzes: três luzes piscam a cada 10, 15 e 20 segundos. Se piscaram juntas agora, depois de quanto tempo piscarão juntas de novo? MMC(10, 15, 20) = 60 segundos, ou seja, 1 minuto.
Problemas de MDC
Tábuas: duas tábuas de 24 e 36 metros devem ser cortadas em pedaços iguais, do maior tamanho possível, sem sobras. Qual o tamanho de cada pedaço e quantos pedaços serão? MDC(24, 36) = 12 metros. A primeira dá 2 pedaços, e a segunda, 3, num total de 5 pedaços.
Pacotes: um professor tem 48 canetas e 60 lápis e quer montar kits iguais, com o maior número possível de kits, sem sobras. MDC(48, 60) = 12 kits, cada um com 4 canetas e 5 lápis.
Operações com frações
- Simplificação: divida numerador e denominador pelo mesmo número: 18/24 = 3/4.
- Soma e subtração: com denominadores diferentes, use o MMC. 1/4 + 1/6: o MMC de 4 e 6 é 12, então 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Multiplicação: numerador vezes numerador e denominador vezes denominador. "Dois terços de três quartos" é 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.
- Divisão: conserve a primeira e multiplique pelo inverso da segunda: 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 3/2.
Problemas com frações
Problema 1: uma pessoa gastou 1/3 do salário com aluguel e 1/4 com alimentação, e sobraram R$ 1.500. Qual o salário? Os gastos somam 1/3 + 1/4 = 7/12. Sobram 5/12 do salário, que valem R$ 1.500. Então 1/12 vale R$ 300, e o salário é R$ 3.600.
Problema 2: outra pessoa gastou 1/3 do salário e, depois, 1/4 do que restou, sobrando R$ 1.500. Depois do primeiro gasto, restam 2/3. Gastando 1/4 disso, sobram 3/4 de 2/3, ou seja, 1/2 do salário. Então o salário é R$ 3.000.
Torneiras: uma torneira enche um tanque em 3 horas, e outra, em 6 horas. Juntas, em quanto tempo enchem? Em 1 hora, a primeira enche 1/3 e a segunda, 1/6 do tanque. Juntas, enchem 1/3 + 1/6 = 1/2 por hora. Logo, levam 2 horas.
Números decimais e dízimas periódicas
Toda fração pode ser escrita como decimal exato, como 3/4 = 0,75, ou como dízima periódica, como 1/3 = 0,333... O caminho inverso, encontrar a fração geratriz, também é cobrado:
- Dízima simples: o período vai no numerador e, no denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do período. 0,454545... = 45/99 = 5/11.
- Dízima composta: há uma parte que não se repete antes do período, como em 0,1666... Nesse caso, a fração é 15/90, que simplificada dá 1/6: no numerador, a parte que não se repete seguida do período, menos a parte que não se repete; no denominador, um nove para cada algarismo do período e um zero para cada algarismo que não se repete.
As dízimas periódicas são números racionais, porque podem ser escritas como fração, tema do guia de teoria dos conjuntos.
Operações com decimais
Na soma e na subtração de decimais, alinhe as vírgulas. Na multiplicação, multiplique como se fossem inteiros e conte as casas decimais dos fatores: 0,3 × 0,2 = 0,06, porque são duas casas no total. Na divisão, iguale as casas decimais e divida como inteiros: 1,5 ÷ 0,05 é o mesmo que 150 ÷ 5, que dá 30. Um cuidado frequente: multiplicar por 0,5 é o mesmo que dividir por 2, e dividir por 0,5 é o mesmo que multiplicar por 2. Esses atalhos economizam tempo em provas sem calculadora.
Erros mais comuns
- Usar MDC quando o problema pede o momento do próximo encontro, que é MMC.
- Somar frações somando numeradores e denominadores, como se 1/4 + 1/6 fosse 2/10.
- Não perceber a expressão "do restante" em problemas de frações sucessivas.
- Esquecer de simplificar a fração final, quando as alternativas estão na forma simplificada.
Exercícios com respostas
- Calcule o MDC e o MMC de 18 e 30.
- Dois corredores dão voltas em uma pista, um em 6 minutos e outro em 8. Se largaram juntos, quando passam juntos pela largada de novo?
- Quanto é 2/5 + 1/3?
- Qual a fração geratriz de 0,777...?
Respostas: 1. MDC 6 e MMC 90, porque 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5. 2. Depois de 24 minutos, o MMC de 6 e 8. 3. 11/15, porque 6/15 + 5/15. 4. 7/9.
Revisão rápida
Antes da prova, confira: MDC com fatores comuns e menores expoentes; MMC com todos os fatores e maiores expoentes; MMC para encontros e MDC para partes iguais; frações somadas pelo MMC; e dízima simples com noves no denominador.
Problemas de áreas e medidas, que usam frações e decimais, estão no guia de geometria plana.
Como o tema cai em prova
As questões mais comuns são os problemas de encontros, resolvidos por MMC, os de divisão em partes iguais, resolvidos por MDC, e os de frações do salário ou do restante. Antes de calcular, decida qual ferramenta o problema pede e confira se a resposta faz sentido: no MMC, ela é maior que os números dados; no MDC, menor. Registre os erros no caderno de erros.
Perguntas frequentes
Quando usar MMC e quando usar MDC?
O MMC resolve problemas de encontros e repetições, como eventos que voltam a coincidir. O MDC resolve problemas de divisão em partes iguais do maior tamanho possível, como cortar peças ou montar pacotes.
Qual a relação entre MMC e MDC?
Para dois números naturais, o produto do MMC pelo MDC é igual ao produto dos dois números.
Como transformar uma dízima periódica em fração?
Na dízima simples, o período vai no numerador e, no denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do período: 0,454545... é 45/99, que simplificado dá 5/11.
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