Atualizado em 25 de setembro de 2026.
Equações e sistemas aparecem em quase todas as provas de Matemática e Raciocínio Lógico, mas raramente de forma direta. O mais comum é a banca contar uma pequena história, com idades, ingressos vendidos, animais em um sítio ou dimensões de um terreno, e o candidato precisar transformar o texto em equação. Por isso, mais importante que decorar fórmulas é aprender a traduzir o enunciado. Este guia mostra como fazer isso, com a fórmula de Bhaskara, os métodos para sistemas e problemas clássicos resolvidos, todos com os cálculos conferidos.
Para os temas vizinhos, veja os guias de razão e proporção e de porcentagem e regra de três.
Traduzindo o enunciado
| No texto | Na equação |
|---|---|
| Um número | x |
| O dobro, o triplo de um número | 2x, 3x |
| A metade, a terça parte | x/2, x/3 |
| Um número aumentado de 5 | x + 5 |
| O quadrado de um número | x² |
| Dois números consecutivos | x e x + 1 |
| A soma de dois números é 30 | x + y = 30 |
Equação do 1º grau
Tem a forma ax + b = 0, com a diferente de zero. Para resolvê-la, isolamos a incógnita, fazendo a mesma operação dos dois lados da igualdade.
Exemplo: 3x + 5 = 20. Subtraindo 5 dos dois lados, 3x = 15. Dividindo por 3, x = 5.
Problema: o triplo de um número, diminuído de 7, é igual a 23. Qual é o número? A equação é 3x − 7 = 23, então 3x = 30, e x = 10.
Problema de idade: um pai tem o triplo da idade do filho. Daqui a 10 anos, terá o dobro. Quais as idades atuais? Chamando a idade do filho de f, o pai tem 3f. Daqui a 10 anos: 3f + 10 = 2(f + 10), então 3f + 10 = 2f + 20, e f = 10. O filho tem 10 anos, e o pai, 30. Confira: daqui a 10 anos, 40 é o dobro de 20.
Equação do 2º grau
Tem a forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. A resolução usa o discriminante, Δ = b² − 4ac, e a fórmula de Bhaskara:
| Valor de Δ | Raízes reais | Exemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes diferentes | x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, raízes 2 e 3 |
| Δ = 0 | Duas raízes iguais | x² − 4x + 4 = 0: Δ = 0, raiz 2 |
| Δ < 0 | Nenhuma raiz real | x² + 2x + 5 = 0: Δ = −16 |
Resolvendo x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5 e c = 6. Δ = 25 − 24 = 1. Então x = (5 ± 1) ÷ 2, o que dá x = 3 ou x = 2.
Soma e produto das raízes
A soma das raízes é −b/a, e o produto é c/a. Em x² − 5x + 6 = 0, a soma é 5 e o produto é 6. Muitas vezes é mais rápido pensar: quais dois números somam 5 e multiplicados dão 6? A resposta, 2 e 3, sai sem a fórmula.
Equações incompletas
- Sem o termo em x, como x² − 9 = 0: isole o x², x² = 9, e x = 3 ou x = −3.
- Sem o termo independente, como x² − 4x = 0: coloque x em evidência, x(x − 4) = 0, e x = 0 ou x = 4.
Problema: um terreno retangular tem 3 metros a mais de comprimento que de largura, e sua área é de 40 m². Quais são as dimensões? Chamando a largura de x, o comprimento é x + 3, e x(x + 3) = 40, ou seja, x² + 3x − 40 = 0. Δ = 9 + 160 = 169, e √Δ = 13. Então x = (−3 + 13) ÷ 2 = 5 ou x = (−3 − 13) ÷ 2 = −8. Como medida não pode ser negativa, a largura é 5 metros e o comprimento, 8 metros.
Sistemas de equações do 1º grau
Quando o problema tem duas incógnitas, precisamos de duas equações. Os dois métodos mais usados são:
- Adição: somamos as equações para eliminar uma incógnita. Ideal quando os coeficientes são iguais ou opostos.
- Substituição: isolamos uma incógnita em uma equação e substituímos na outra.
Exemplo: x + y = 30 e x − y = 6. Somando as equações, 2x = 36, e x = 18. Substituindo na primeira, y = 30 − 18 = 12.
Problemas clássicos resolvidos
Galinhas e coelhos: em um sítio há galinhas e coelhos, num total de 35 cabeças e 94 patas. Quantos são os coelhos? Com g galinhas e c coelhos: g + c = 35 e 2g + 4c = 94. Multiplicando a primeira por 2, 2g + 2c = 70. Subtraindo da segunda, 2c = 24, e c = 12 coelhos. As galinhas são 35 − 12 = 23. Confira: 23 × 2 + 12 × 4 = 46 + 48 = 94.
Ingressos: um teatro vendeu 100 ingressos, entre inteiras de R$ 20 e meias de R$ 10, e arrecadou R$ 1.600. Quantas inteiras foram vendidas? Com i inteiras e m meias: i + m = 100 e 20i + 10m = 1.600. Da primeira, m = 100 − i. Substituindo: 20i + 1.000 − 10i = 1.600, então 10i = 600, e i = 60 inteiras. As meias são 40.
Inequações do 1º grau
As inequações usam os sinais de maior e menor e se resolvem como as equações, com uma regra especial: ao multiplicar ou dividir os dois lados por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Por exemplo, em −2x + 6 > 0, temos −2x > −6. Dividindo por −2 e invertendo o sinal, x < 3.
Exercícios com respostas
- Resolva 5x − 8 = 2x + 7.
- Quais as raízes de x² − 7x + 10 = 0?
- A soma de dois números é 50, e a diferença, 14. Quais são eles?
- Um estacionamento tem 40 veículos, entre carros e motos, com 130 rodas no total. Quantos são os carros?
Respostas: 1. x = 5, porque 3x = 15. 2. 2 e 5, porque a soma é 7 e o produto é 10. 3. 32 e 18, porque 2x = 64. 4. 25 carros, porque, se todos fossem motos, seriam 80 rodas, faltam 50, e cada carro acrescenta 2 rodas: 50 ÷ 2 = 25, com 15 motos. Confira: 25 × 4 + 15 × 2 = 130.
Erros mais comuns
- Montar a equação com a incógnita errada, por não definir no início o que x representa.
- Errar o sinal ao passar um termo para o outro lado da igualdade.
- Esquecer que o b da fórmula de Bhaskara leva o próprio sinal: em x² − 5x + 6 = 0, b vale −5, e −b vale 5.
- Deixar de inverter o sinal da inequação ao dividir por um número negativo.
- Não descartar raízes negativas em problemas com medidas, idades ou quantidades.
- Não conferir a resposta substituindo os valores no enunciado original.
O último item é o mais importante: conferir a resposta leva poucos segundos e evita perder uma questão que já estava praticamente resolvida.
Revisão rápida
Antes da prova, confira: traduza o texto em equação, definindo o que x representa; no 2º grau, calcule Δ = b² − 4ac e use Bhaskara, ou soma e produto quando for mais rápido; em sistemas, use adição ou substituição; e confira sempre a resposta no enunciado.
Operações com frações, que aparecem em muitas equações, estão no guia de MMC, MDC e frações.
A leitura gráfica das equações, com retas e parábolas, está no guia de funções do 1º e do 2º grau.
A resolução de sistemas por determinantes, com a regra de Cramer, está no guia de matrizes e determinantes.
Como o tema cai em prova
As questões costumam ser problemas contados em texto, que exigem montar a equação ou o sistema, e às vezes pedem só a soma ou o produto das raízes, sem resolver a equação. Treine a tradução do enunciado, confira sempre a resposta no problema original e descarte raízes sem sentido. Registre os erros no caderno de erros. Para padrões numéricos, veja o guia de sequências lógicas.
Perguntas frequentes
Como saber quantas raízes tem uma equação do 2º grau?
Pelo discriminante, Δ = b² − 4ac. Se Δ for positivo, há duas raízes reais diferentes; se for zero, duas raízes reais iguais; se for negativo, não há raiz real.
Como calcular a soma e o produto das raízes?
A soma das raízes é −b/a, e o produto é c/a. Em x² − 5x + 6 = 0, a soma é 5 e o produto é 6, o que leva às raízes 2 e 3.
Qual o método mais rápido para resolver sistemas?
Quando os coeficientes de uma incógnita são iguais ou opostos, o método da adição costuma ser o mais rápido. Quando uma incógnita já está isolada, a substituição é mais direta.
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