Atualizado em 25 de setembro de 2026.
As matrizes e os determinantes aparecem em provas de Matemática de nível médio, em concursos de bancos, de tribunais, de polícias e de áreas técnicas, e servem de base para a resolução de sistemas lineares. As questões costumam pedir o produto de matrizes, o cálculo de determinantes e a aplicação das suas propriedades. Este guia resume os pontos mais cobrados, com exemplos resolvidos. Os sistemas de equações estão também no guia de equações e sistemas.
O que é uma matriz
Uma matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m × n, e cada elemento é identificado pela linha e pela coluna em que está, como a₂₃, que está na segunda linha e na terceira coluna. Muitas questões definem os elementos por uma lei de formação, como aᵢⱼ = i + j, e pedem que o candidato monte a matriz.
Tipos de matrizes
- Quadrada: tem o mesmo número de linhas e de colunas, e possui diagonal principal e secundária.
- Nula: todos os elementos são iguais a zero.
- Diagonal: matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.
- Identidade: matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1; funciona como o número 1 na multiplicação.
- Transposta: obtida trocando as linhas pelas colunas.
- Simétrica: matriz quadrada igual à sua transposta.
Operações com matrizes
A soma e a subtração só são possíveis entre matrizes de mesma ordem, e são feitas elemento a elemento. Na multiplicação por um número, multiplica-se cada elemento por esse número. O produto de duas matrizes A × B só existe quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, e o resultado tem o número de linhas de A e o número de colunas de B. Cada elemento do produto é obtido multiplicando os elementos de uma linha de A pelos correspondentes de uma coluna de B e somando os resultados.
Cálculo do determinante
O determinante é um número associado a toda matriz quadrada. Para uma matriz 2 × 2, com a primeira linha a e b e a segunda linha c e d, o determinante é ad − bc, ou seja, o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Exemplo: para a matriz com linhas 3 e 2 e 1 e 4, o determinante é 3 × 4 − 2 × 1 = 10.
Para uma matriz 3 × 3, usa-se a regra de Sarrus: repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz, somam-se os produtos das três diagonais no sentido da diagonal principal e subtraem-se os produtos das três diagonais no sentido da diagonal secundária. Para ordens maiores, usa-se o teorema de Laplace, com os cofatores.
Propriedades dos determinantes
- O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta.
- Se uma linha ou coluna for toda nula, o determinante é zero.
- Se duas linhas ou colunas forem iguais ou proporcionais, o determinante é zero.
- Trocar duas linhas ou duas colunas de lugar troca o sinal do determinante.
- Multiplicar uma linha ou coluna por um número k multiplica o determinante por k; multiplicar a matriz inteira de ordem n por k multiplica o determinante por kⁿ.
- O determinante do produto é o produto dos determinantes: det(A × B) = det A × det B.
- O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Matriz inversa e determinante
A inversa de uma matriz quadrada A é a matriz que, multiplicada por A, resulta na identidade. Uma matriz tem inversa se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero, e o determinante da inversa é igual a 1 dividido pelo determinante de A. Para uma matriz 2 × 2 com linhas a, b e c, d, a inversa se obtém trocando a e d de lugar, trocando os sinais de b e c e dividindo todos os elementos pelo determinante.
Sistemas lineares e regra de Cramer
Um sistema linear pode ser escrito na forma de matrizes, e o determinante da matriz dos coeficientes ajuda a classificá-lo. Se esse determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado, com uma única solução, que pode ser obtida pela regra de Cramer: cada incógnita é igual ao determinante obtido substituindo a sua coluna pela coluna dos termos independentes, dividido pelo determinante dos coeficientes. Se o determinante é zero, o sistema pode ser possível e indeterminado, com infinitas soluções, ou impossível, sem solução.
Lei de formação
Muitas questões apresentam a matriz por uma lei de formação. Exemplo: construa a matriz A, de ordem 2, com aᵢⱼ = i + j. Os elementos são a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 3 e a₂₂ = 4, e a matriz tem as linhas 2 e 3 e 3 e 4. O seu determinante é 2 × 4 − 3 × 3 = −1, e, como é diferente de zero, a matriz tem inversa.
Exemplo de produto
Sejam A a matriz com as linhas 1 e 2 e 3 e 4, e B a matriz com as linhas 2 e 0 e 1 e 3. O produto A × B tem, na primeira linha, os elementos 1 × 2 + 2 × 1 = 4 e 1 × 0 + 2 × 3 = 6, e, na segunda linha, 3 × 2 + 4 × 1 = 10 e 3 × 0 + 4 × 3 = 12. Assim, A × B tem as linhas 4 e 6 e 10 e 12. Repare que det A = −2, det B = 6 e det(A × B) = 4 × 12 − 6 × 10 = −12, que é igual a −2 × 6, confirmando a propriedade do produto.
Exemplo da regra de Sarrus
Considere a matriz com as linhas 1, 2 e 3; 0, 1 e 4; e 5, 6 e 0. Pela regra de Sarrus, os produtos no sentido da diagonal principal são 1 × 1 × 0 = 0, 2 × 4 × 5 = 40 e 3 × 0 × 6 = 0, que somam 40. Os produtos no sentido da diagonal secundária são 3 × 1 × 5 = 15, 1 × 4 × 6 = 24 e 2 × 0 × 0 = 0, que somam 39. O determinante é 40 − 39 = 1.
Os determinantes também servem para verificar o alinhamento de três pontos e calcular a área de triângulos, tema do guia de geometria analítica.
Como estudar
Treine o produto de matrizes e a regra de Sarrus com exercícios, porque os erros de conta são comuns, e memorize as propriedades dos determinantes, que permitem resolver muitas questões sem cálculos longos.
Em provas de nível médio, as questões costumam ser diretas, e em concursos da área técnica podem envolver sistemas lineares maiores.
Exemplos de como cai
Questão: se det A = 5 e A é de ordem 3, quanto vale det(2A)? Resposta: 2³ × 5 = 40.
Questão: se det A = 4 e det B = 3, quanto vale det(A × B)? Resposta: 4 × 3 = 12.
Afirmação: "Toda matriz quadrada possui inversa." Errado. Só possui inversa se o determinante for diferente de zero.
Resumo para revisar antes da prova
Matriz m × n e lei de formação; matrizes quadrada, nula, diagonal, identidade, transposta e simétrica; soma entre matrizes de mesma ordem; produto só quando colunas de A igualam linhas de B, não comutativo; determinante 2 × 2 igual a ad − bc e 3 × 3 pela regra de Sarrus; determinante zero com linha nula ou linhas proporcionais; troca de linhas troca o sinal; det(kA) = kⁿ det A; det(AB) = det A × det B; inversa só com determinante diferente de zero; e regra de Cramer para sistemas possíveis e determinados.
Perguntas frequentes
Quando é possível multiplicar duas matrizes?
O produto A × B só existe quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se A é m × n e B é n × p, o produto é uma matriz m × p. O produto de matrizes, em geral, não é comutativo.
Como se calcula o determinante de uma matriz 2 × 2?
Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e subtrai-se o produto dos elementos da diagonal secundária: para a matriz com linhas a, b e c, d, o determinante é ad − bc.
Quando uma matriz tem inversa?
Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Nesse caso, o determinante da inversa é o inverso do determinante da matriz original.
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