Atualizado em 25 de setembro de 2026.
A geometria espacial estuda os sólidos, figuras com três dimensões, como cubos, cilindros e esferas. Nos concursos, as questões costumam pedir o cálculo de volumes e áreas em situações práticas, como a capacidade de uma caixa-d'água ou a quantidade de material para revestir um reservatório, com conversão entre metros cúbicos e litros. O tema aparece em provas de nível médio, de bancos, de polícias e de bombeiros. Este guia resume as fórmulas e os raciocínios mais cobrados. As figuras planas estão no guia de geometria plana.
Conceitos básicos
Os sólidos podem ser poliedros, formados apenas por faces planas, como o cubo, o prisma e a pirâmide, ou corpos redondos, que têm superfícies curvas, como o cilindro, o cone e a esfera. Nos poliedros, as faces são os polígonos que os limitam, as arestas são os segmentos em que duas faces se encontram, e os vértices são os pontos em que as arestas se encontram. A área mede a superfície do sólido, em unidades quadradas, e o volume mede o espaço que ele ocupa, em unidades cúbicas.
Fórmulas dos principais sólidos
| Sólido | Volume | Área |
|---|---|---|
| Cubo de aresta a | V = a³ | Área total = 6a² |
| Paralelepípedo de dimensões a, b e c | V = a × b × c | Área total = 2(ab + ac + bc) |
| Prisma | V = área da base × altura | Soma das áreas das bases e das faces laterais |
| Cilindro de raio r e altura h | V = π × r² × h | Área lateral = 2πrh; área total = 2πr(r + h) |
| Pirâmide | V = (área da base × altura) ÷ 3 | Soma da base e das faces triangulares |
| Cone de raio r, altura h e geratriz g | V = (π × r² × h) ÷ 3 | Área lateral = πrg |
| Esfera de raio r | V = (4 × π × r³) ÷ 3 | Área = 4πr² |
Diagonais e geratriz
A diagonal do cubo de aresta a mede a√3, e a diagonal do paralelepípedo de dimensões a, b e c mede a raiz quadrada de a² + b² + c². No cone reto, a geratriz, o raio e a altura formam um triângulo retângulo, e vale a relação g² = r² + h², aplicação direta do teorema de Pitágoras. Com raio de 3 cm e altura de 4 cm, por exemplo, a geratriz mede 5 cm.
A relação de Euler
Nos poliedros convexos, vale a relação de Euler: V − A + F = 2, em que V é o número de vértices, A o de arestas e F o de faces. O cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces: 8 − 12 + 6 = 2. A relação permite descobrir um elemento conhecendo os outros dois. Os poliedros regulares, ou de Platão, são cinco: tetraedro, hexaedro ou cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Conversão de unidades de volume
- 1 m³ = 1.000 litros;
- 1 dm³ = 1 litro;
- 1 cm³ = 1 mililitro;
- 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³.
Nas unidades de volume, cada mudança de unidade multiplica ou divide por 1.000, e não por 10 como nas de comprimento, nem por 100 como nas de área. A conversão entre metro cúbico e litro aparece em quase todas as questões práticas. A proporção entre grandezas está no guia de razão e proporção.
A relação entre metro cúbico, decímetro cúbico e litro e as demais conversões estão no guia de unidades de medida.
Problemas resolvidos
Caixa-d'água cilíndrica: um reservatório tem raio de 1 m e altura de 2 m. Usando π igual a 3,14, o volume é 3,14 × 1² × 2 = 6,28 m³, o que corresponde a 6.280 litros.
Aquário: um aquário com a forma de paralelepípedo mede 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. O volume é 50 × 30 × 40 = 60.000 cm³, ou seja, 60 litros.
Ampliação: se todas as dimensões de um cubo dobram, a área é multiplicada por 4 e o volume por 8. Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, e a razão entre os volumes é o cubo.
Esfera: uma bola de raio 3 cm, com π igual a 3, tem volume de 4 × 3 × 27 ÷ 3 = 108 cm³.
Erros mais comuns
- Esquecer de dividir por 3 no volume da pirâmide e do cone;
- Usar o diâmetro no lugar do raio nas fórmulas do cilindro, do cone e da esfera;
- Misturar unidades, como metros e centímetros, no mesmo cálculo;
- Converter volume dividindo ou multiplicando por 10 ou 100, em vez de 1.000;
- Confundir área total com área lateral.
Prismas regulares
O prisma é regular quando é reto e as bases são polígonos regulares. No prisma triangular regular, a área da base é a do triângulo equilátero, igual a l²√3 ÷ 4, em que l é o lado; no prisma hexagonal regular, a base é um hexágono regular, que pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, e sua área é 6 × l²√3 ÷ 4. Depois de calcular a área da base, basta multiplicar pela altura para obter o volume.
Exercícios com respostas
- Um cubo tem volume de 64 cm³. Qual a sua área total? Resposta: a aresta mede 4 cm, porque 4³ = 64, e a área total é 6 × 16 = 96 cm².
- Um cilindro tem raio de 2 m e altura de 5 m. Com π igual a 3, quantos litros ele comporta? Resposta: o volume é 3 × 4 × 5 = 60 m³, ou 60.000 litros.
- Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces ele tem? Resposta: pela relação de Euler, 6 − 12 + F = 2, e F = 8. É o octaedro.
- Uma pirâmide de base quadrada com lado de 6 cm tem altura de 10 cm. Qual o seu volume? Resposta: a área da base é 36 cm², e o volume é 36 × 10 ÷ 3 = 120 cm³.
Como estudar
Memorize a tabela de fórmulas e as conversões entre metro cúbico e litro, e treine com problemas práticos, sempre conferindo as unidades antes de calcular. Revise também o teorema de Pitágoras e as áreas das figuras planas, que são usados para calcular bases, diagonais e geratrizes.
Planificação dos sólidos
A planificação mostra o sólido aberto no plano, o que ajuda a calcular a área. A planificação do cubo tem seis quadrados; a do cilindro tem dois círculos, as bases, e um retângulo, a superfície lateral, cujo comprimento é igual ao comprimento da circunferência da base, 2πr, e cuja altura é a do cilindro. Por isso a área lateral do cilindro é 2πrh. A planificação do cone tem um círculo e um setor circular.
Exemplos de como cai
Afirmação: "Um tanque de 2 m × 1,5 m × 1 m comporta 3.000 litros." Certo. O volume é de 3 m³, ou 3.000 litros.
Afirmação: "O volume do cone é igual ao do cilindro de mesma base e altura." Errado. É um terço dele.
Afirmação: "Se o raio de uma esfera dobra, o seu volume também dobra." Errado. O volume é multiplicado por 8.
Resumo para revisar antes da prova
Poliedros e corpos redondos; faces, arestas e vértices; cubo com volume a³ e área 6a²; paralelepípedo com volume abc; prisma e cilindro com área da base vezes altura; pirâmide e cone com um terço disso; esfera com volume 4πr³ ÷ 3 e área 4πr²; diagonal do cubo a√3; geratriz pelo teorema de Pitágoras; relação de Euler V − A + F = 2; 1 m³ igual a 1.000 litros e 1 dm³ igual a 1 litro; e áreas pelo quadrado e volumes pelo cubo da razão de semelhança.
Perguntas frequentes
Quantos litros cabem em um metro cúbico?
Um metro cúbico equivale a 1.000 litros, e um decímetro cúbico equivale a 1 litro. Por isso, uma caixa de 2 m por 1 m por 0,5 m, com volume de 1 m³, comporta 1.000 litros.
Qual a relação entre o volume do cone e o do cilindro?
O volume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. A mesma relação vale entre a pirâmide e o prisma de mesma base e altura.
O que diz a relação de Euler?
Nos poliedros convexos, o número de vértices menos o número de arestas mais o número de faces é igual a 2: V − A + F = 2. Um cubo, por exemplo, tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
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