Atualizado em 25 de setembro de 2026.

Razão e proporção são a base de uma grande parte das questões de Matemática em concursos: regra de três, porcentagem, escalas, divisão de lucros, velocidade média e problemas de mistura dependem desses conceitos. As bancas gostam especialmente da divisão proporcional, direta e inversa, e dos problemas de sociedade, em que o lucro é repartido conforme o capital e o tempo de cada sócio.

Este guia explica os conceitos e resolve os tipos de questão mais comuns, com todos os cálculos conferidos. A regra de três e a porcentagem estão no guia de porcentagem e regra de três.

Razão

A razão entre dois números a e b, com b diferente de zero, é o quociente a/b, que também se lê "a está para b". O primeiro termo é o antecedente, e o segundo, o consequente. Exemplos do dia a dia:

  • Em uma prova com 60 questões, um candidato acertou 45. A razão entre acertos e total é 45/60, que simplificada dá 3/4.
  • Escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real, na mesma unidade.
  • Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto.
  • Densidade demográfica é a razão entre a população e a área.

Proporção e suas propriedades

Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d. Os termos a e d são os extremos, e b e c, os meios.

Propriedade fundamental: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: a × d = b × c.

Exemplo: em x/6 = 10/15, temos 15x = 60, então x = 4.

Propriedade da soma: em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. É ela que resolve problemas como este: a razão entre as idades de duas pessoas é 3/5, e a soma das idades é 48. Como 3 + 5 = 8, cada parte vale 48 ÷ 8 = 6, e as idades são 3 × 6 = 18 e 5 × 6 = 30 anos.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

  • Diretamente proporcionais: quando uma dobra, a outra também dobra. A razão entre elas é constante. Exemplo: quantidade comprada e preço total.
  • Inversamente proporcionais: quando uma dobra, a outra cai pela metade. O produto entre elas é constante. Exemplo: número de trabalhadores e tempo para terminar uma obra.

Exemplo: 6 operários fazem um serviço em 10 dias. Em quantos dias 4 operários, no mesmo ritmo, fariam o mesmo serviço? As grandezas são inversas, então o produto é constante: 6 × 10 = 4 × x, e x = 15 dias.

Como identificar: pergunte a si mesmo o que acontece com uma grandeza se a outra aumentar. Mais operários, menos dias: inversa. Mais produtos, maior preço: direta. Essa pergunta simples evita a maior parte dos erros.

Divisão em partes diretamente proporcionais

Questão: dividir R$ 1.200 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

  1. Some os números: 2 + 3 + 5 = 10.
  2. Encontre a constante: 1.200 ÷ 10 = 120.
  3. Multiplique: 2 × 120 = 240; 3 × 120 = 360; 5 × 120 = 600.

Confira sempre: 240 + 360 + 600 = 1.200.

Divisão em partes inversamente proporcionais

Questão: dividir R$ 900 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.

  1. Inverta os números: 1/2, 1/3 e 1/6.
  2. Multiplique pelo MMC dos denominadores, que é 6, para trabalhar com inteiros: 3, 2 e 1.
  3. Divida diretamente proporcional a 3, 2 e 1: a soma é 6, e 900 ÷ 6 = 150.
  4. As partes são 3 × 150 = 450, 2 × 150 = 300 e 1 × 150 = 150.

Repare que quem tinha o menor número, o 2, recebeu a maior parte. É assim que se reconhece a divisão inversa, e é uma forma rápida de conferir a resposta.

Divisão de lucros em sociedade

Quando os sócios entram com capitais diferentes por tempos diferentes, o lucro é dividido em partes proporcionais ao produto do capital pelo tempo.

Questão 1: A investiu R$ 10.000 por 6 meses, e B investiu R$ 15.000 por 4 meses. Como dividir um lucro de R$ 12.000? Os produtos são 10.000 × 6 = 60.000 e 15.000 × 4 = 60.000, iguais. Cada um recebe R$ 6.000. Mesmo com capitais diferentes, o tempo compensou.

Questão 2: A investiu R$ 20.000 por 8 meses, e B investiu R$ 10.000 por 12 meses. Como dividir um lucro de R$ 14.000? Os produtos são 160.000 e 120.000, na razão de 4 para 3. A soma das partes é 7, e cada parte vale 14.000 ÷ 7 = 2.000. A recebe R$ 8.000, e B, R$ 6.000.

Escalas

A escala 1:50.000 significa que 1 centímetro no mapa corresponde a 50.000 centímetros na realidade, ou seja, 500 metros. Uma distância de 4 centímetros no mapa corresponde a 4 × 50.000 = 200.000 centímetros, que são 2 quilômetros. O cuidado principal é com as unidades: a escala é sempre na mesma unidade, e a conversão para metros ou quilômetros deve ser feita no final.

Razões entre figuras semelhantes

Em figuras semelhantes, se a razão entre os lados é k, a razão entre as áreas é k² e a razão entre os volumes é k³. Se os lados de um terreno são o dobro dos de outro, sua área é quatro vezes maior. É uma pegadinha frequente, porque muitos candidatos respondem que a área também dobra.

A pegadinha da velocidade média

Um carro percorre 120 quilômetros em 1 hora e 30 minutos. A velocidade média é a razão entre a distância e o tempo: 120 ÷ 1,5 = 80 km/h. Agora, uma pegadinha clássica: um motorista vai de uma cidade a outra a 60 km/h e volta pelo mesmo caminho a 40 km/h. A velocidade média da viagem inteira não é 50 km/h. Como ele passa mais tempo no trecho mais lento, a média é menor: para distâncias iguais, ela é calculada por 2 × 60 × 40 ÷ (60 + 40), o que dá 48 km/h. Se a distância for, por exemplo, 120 quilômetros em cada sentido, a ida leva 2 horas e a volta, 3 horas: 240 quilômetros em 5 horas dão os mesmos 48 km/h.

A conversão de km/h para m/s, as escalas de área e as operações com horas estão no guia de unidades de medida.

Exercícios com respostas

  1. Divida R$ 2.100 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 4.
  2. Em um grupo de 45 pessoas, a razão entre homens e mulheres é 2/3. Quantas são as mulheres?
  3. Oito máquinas iguais fazem um trabalho em 6 horas. Em quanto tempo 12 máquinas fariam o mesmo trabalho?
  4. Em um mapa na escala 1:200.000, duas cidades estão a 3 centímetros de distância. Qual a distância real?
  5. Divida R$ 1.100 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Respostas: 1. R$ 300, R$ 600 e R$ 1.200, porque a soma é 7 e cada parte vale 300. 2. 27 mulheres, porque as partes são 2 + 3 = 5, cada uma vale 9, e as mulheres são 3 × 9. 3. 4 horas, porque as grandezas são inversas e 8 × 6 = 12 × 4. 4. 6 quilômetros, porque 3 × 200.000 = 600.000 centímetros. 5. R$ 660 e R$ 440, porque os inversos 1/2 e 1/3, multiplicados por 6, viram 3 e 2, e 1.100 ÷ 5 = 220.

Erros mais comuns

  • Tratar grandezas inversas como diretas, principalmente em problemas de trabalho e tempo.
  • Esquecer de inverter os números na divisão inversamente proporcional.
  • Ignorar o tempo na divisão de lucros e usar só o capital.
  • Misturar unidades em escalas e velocidades.
  • Deixar de conferir se a soma das partes dá o total do enunciado.

Problemas com duas incógnitas, como idades e quantidades, são resolvidos com os métodos do guia de equações e sistemas.

Como o tema cai em prova

As questões mais comuns são as de divisão proporcional, direta e inversa, as de sociedade, as de escala e as de grandezas proporcionais disfarçadas em situações do cotidiano. Resolva cada tipo várias vezes, sempre conferindo a soma no final, e registre os erros no caderno de erros. Os temas seguintes são os guias de matemática financeira e de estatística básica.

Perguntas frequentes

Qual a propriedade fundamental das proporções?

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: se a/b = c/d, então a × d = b × c.

Como dividir um valor em partes inversamente proporcionais?

Divide-se o valor em partes diretamente proporcionais aos inversos dos números dados. Para facilitar, multiplica-se os inversos pelo MMC dos denominadores e trabalha-se com números inteiros.

Como se divide o lucro de uma sociedade com capitais e tempos diferentes?

Em partes proporcionais ao produto do capital pelo tempo de cada sócio.

SOS Concursos
Equipe SOS Concursos

Conteúdo produzido e revisado pela equipe editorial da SOS Concursos, que acompanha concursos públicos desde 2006. Cada dado deste artigo foi conferido nas fontes listadas acima. Conheça nossa política editorial ou envie uma correção para contato@sosconcursos.com.br.