Atualizado em 25 de setembro de 2026.
A geometria analítica estuda as figuras geométricas por meio de coordenadas e equações no plano cartesiano. Ela aparece nas provas de Matemática de concursos de nível médio e superior, como os de polícia militar, bombeiros e escolas militares, e principalmente nas provas de professor de Matemática das Seduc. As questões costumam pedir distâncias, pontos médios, equações de retas e circunferências. Este guia resume as fórmulas mais cobradas, com exemplos resolvidos. As funções afim e quadrática, que se relacionam com as retas e as parábolas, estão no guia de funções do primeiro e segundo grau.
O plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: o eixo das abscissas, horizontal, chamado eixo x, e o eixo das ordenadas, vertical, chamado eixo y, que se cruzam na origem, o ponto (0, 0). Cada ponto é representado por um par ordenado (x, y). Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário: no primeiro, x e y são positivos; no segundo, x é negativo e y é positivo; no terceiro, ambos são negativos; e no quarto, x é positivo e y é negativo. Os pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.
Distância entre dois pontos
A distância entre os pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é dada por:
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
A fórmula é uma aplicação do teorema de Pitágoras, em que as diferenças entre as coordenadas são os catetos, e a distância é a hipotenusa. Exemplo: a distância entre A(1, 2) e B(4, 6) é √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5. O teorema está no guia de geometria plana.
Ponto médio e baricentro
O ponto médio do segmento AB tem como coordenadas as médias das coordenadas dos extremos: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2). Exemplo: o ponto médio entre A(2, 8) e B(6, −4) é M(4, 2). O baricentro de um triângulo, ponto de encontro das medianas, tem como coordenadas as médias das coordenadas dos três vértices: G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3).
Alinhamento de três pontos e área do triângulo
Três pontos A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) e C(x₃, y₃) estão alinhados quando o determinante formado pelas suas coordenadas, com uma terceira coluna de números 1, é igual a zero. Se o determinante D for diferente de zero, os pontos formam um triângulo, cuja área é igual a |D| ÷ 2. Exemplo: para A(0, 0), B(4, 0) e C(0, 3), o determinante vale 12, e a área do triângulo é 12 ÷ 2 = 6, o que confere com a fórmula base vezes altura dividido por dois, já que o triângulo é retângulo com catetos 4 e 3. O cálculo de determinantes está no guia de matrizes e determinantes.
O coeficiente angular
O coeficiente angular, ou declividade, de uma reta que passa pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é dado por m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), e corresponde à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, medido no sentido anti-horário. Se m for positivo, a reta é crescente; se for negativo, decrescente; se for zero, a reta é horizontal. As retas verticais não têm coeficiente angular definido, porque a variação de x é zero. Exemplo: a reta que passa por (1, 2) e (3, 8) tem m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3.
As equações da reta
- Equação fundamental: conhecido um ponto (x₀, y₀) e o coeficiente angular m, a reta é dada por y − y₀ = m(x − x₀).
- Equação reduzida: y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear, que indica o ponto em que a reta corta o eixo y.
- Equação geral: ax + by + c = 0, em que o coeficiente angular é m = −a ÷ b, quando b é diferente de zero.
- Equação segmentária: x ÷ p + y ÷ q = 1, em que p e q são os pontos em que a reta corta os eixos x e y.
Exemplo: a reta de coeficiente angular 3 que passa por (1, 2) tem equação y − 2 = 3(x − 1), ou seja, y = 3x − 1 na forma reduzida e 3x − y − 1 = 0 na forma geral.
Retas paralelas, perpendiculares e concorrentes
Duas retas não verticais são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes; se os coeficientes lineares também forem iguais, as retas são coincidentes. São perpendiculares quando o produto dos coeficientes angulares é −1, ou seja, quando um é o inverso do outro com sinal trocado. Exemplo: a reta y = 2x + 1 é perpendicular à reta y = −x ÷ 2 + 5, porque 2 × (−1 ÷ 2) = −1. Retas concorrentes têm coeficientes angulares diferentes e se cruzam em um ponto, encontrado resolvendo-se o sistema formado pelas duas equações, técnica do guia de equações e sistemas.
Distância de ponto a reta
A distância do ponto P(x₀, y₀) à reta ax + by + c = 0 é dada por d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²). Exemplo: a distância do ponto (1, 2) à reta 3x + 4y − 1 = 0 é |3 + 8 − 1| ÷ √(9 + 16) = 10 ÷ 5 = 2.
A circunferência
A circunferência de centro C(a, b) e raio r tem equação reduzida (x − a)² + (y − b)² = r². Desenvolvendo os quadrados, chega-se à equação geral x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0. Para encontrar o centro e o raio a partir da equação geral, completam-se os quadrados. Exemplo: na circunferência x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0, o centro é (2, −3), porque os coeficientes de x e de y são −2a = −4 e −2b = 6, e o raio é dado por r² = 2² + (−3)² + 12 = 25, ou seja, r = 5.
A posição de um ponto em relação à circunferência é obtida comparando a sua distância ao centro com o raio: se for menor, o ponto é interior; se for igual, pertence à circunferência; se for maior, é exterior. Da mesma forma, uma reta é secante quando a distância do centro à reta é menor que o raio, tangente quando é igual e exterior quando é maior.
Noções de cônicas
Algumas provas, principalmente as de professor, cobram também as cônicas. A elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante. A hipérbole é o conjunto dos pontos cuja diferença, em módulo, das distâncias aos focos é constante. A parábola é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretriz, e corresponde ao gráfico da função quadrática quando o eixo é vertical.
Como estudar
Memorize as fórmulas da distância, do ponto médio, do coeficiente angular e da equação da circunferência, e as condições de paralelismo e perpendicularismo, que são os pontos mais cobrados. Treine sempre desenhando o plano cartesiano, porque o esboço ajuda a conferir o resultado e evita erros de sinal.
Exemplos de como cai
Afirmação: "A distância entre os pontos (0, 0) e (6, 8) é igual a 10." Certo. √(36 + 64) = √100 = 10.
Afirmação: "As retas y = 3x + 2 e y = −3x + 1 são perpendiculares." Errado. O produto dos coeficientes é −9, e não −1.
Afirmação: "A circunferência (x − 1)² + (y + 2)² = 16 tem centro (1, −2) e raio 4." Certo. O raio é a raiz de 16.
Resumo para revisar antes da prova
Plano cartesiano com abscissas, ordenadas e quatro quadrantes no sentido anti-horário; distância pela raiz da soma dos quadrados das diferenças; ponto médio e baricentro pelas médias; alinhamento com determinante zero e área igual a |D| ÷ 2; coeficiente angular como variação de y sobre variação de x e tangente da inclinação; equações fundamental, reduzida, geral e segmentária; paralelas com o mesmo m e perpendiculares com produto −1; distância de ponto a reta; circunferência (x − a)² + (y − b)² = r², com centro e raio pela equação geral; posições de ponto e reta; e noções de elipse, hipérbole e parábola.
Perguntas frequentes
Como se calcula a distância entre dois pontos?
Pela fórmula d = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²], que é uma aplicação do teorema de Pitágoras. Por exemplo, a distância entre (1, 2) e (4, 6) é √(9 + 16) = 5.
Quando duas retas são perpendiculares?
Quando o produto dos seus coeficientes angulares é igual a −1. Retas paralelas, por sua vez, têm o mesmo coeficiente angular.
Qual a equação da circunferência?
Na forma reduzida, (x − a)² + (y − b)² = r², em que (a, b) é o centro e r é o raio.
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