Atualizado em 25 de setembro de 2026.
A trigonometria estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Nos concursos, aparece principalmente em provas de nível médio, de áreas técnicas, de polícias, bombeiros e forças armadas, com questões práticas de altura, distância e inclinação. Este guia resume os pontos mais cobrados, com exemplos resolvidos. A geometria das figuras planas, que é a base da trigonometria, está no guia de geometria plana.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os outros dois lados. Para um ângulo agudo, chama-se de cateto oposto o que está à frente do ângulo e de cateto adjacente o que forma o ângulo junto com a hipotenusa. As razões são:
- Seno: cateto oposto ÷ hipotenusa;
- Cosseno: cateto adjacente ÷ hipotenusa;
- Tangente: cateto oposto ÷ cateto adjacente, que também é igual ao seno dividido pelo cosseno.
A tabela dos ângulos notáveis
| Razão | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| Cosseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
A relação fundamental e os radianos
Para qualquer ângulo x, vale a relação fundamental: sen²x + cos²x = 1. Com ela, conhecendo o seno, é possível calcular o cosseno, e vice-versa. Os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, e a conversão se baseia na igualdade π radianos = 180°. Assim, 90° equivalem a π/2 radianos, 60° a π/3, 45° a π/4 e 30° a π/6.
O ciclo trigonométrico e os quadrantes
No ciclo trigonométrico, uma circunferência de raio 1, o seno de um ângulo corresponde à ordenada do ponto, e o cosseno, à abscissa. Isso permite estender as razões para ângulos maiores que 90°. O ciclo é dividido em quatro quadrantes: no primeiro, seno e cosseno são positivos; no segundo, o seno é positivo e o cosseno é negativo; no terceiro, ambos são negativos; e no quarto, o seno é negativo e o cosseno é positivo. Nos ângulos de 0°, 90°, 180° e 270°, os senos valem 0, 1, 0 e −1, e os cossenos valem 1, 0, −1 e 0.
Lei dos senos e lei dos cossenos
Para triângulos quaisquer, que não sejam retângulos, usam-se duas leis:
- Lei dos senos: os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C. Útil quando se conhecem dois ângulos e um lado.
- Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc × cos A. Útil quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles. Quando o ângulo é de 90°, o cosseno é zero e a lei se reduz ao teorema de Pitágoras.
A área de um triângulo também pode ser calculada pela fórmula: área = (a × b × sen C) ÷ 2, em que C é o ângulo entre os lados a e b.
Problemas resolvidos
Escada: uma escada de 10 metros está apoiada em um muro, formando um ângulo de 60° com o chão. A altura atingida no muro é o cateto oposto ao ângulo: 10 × sen 60° = 10 × √3/2 = 5√3, cerca de 8,66 metros. A distância do pé da escada ao muro é 10 × cos 60° = 5 metros.
Prédio: uma pessoa a 30 metros de um prédio vê o topo sob um ângulo de 45°. A altura do prédio, desconsiderando a altura dos olhos, é 30 × tg 45° = 30 metros.
Rampa: uma rampa sobe 2 metros de altura com inclinação de 30°. O comprimento da rampa é a hipotenusa: 2 ÷ sen 30° = 2 ÷ 0,5 = 4 metros.
Lei dos cossenos: em um triângulo com lados de 3 cm e 5 cm e ângulo de 60° entre eles, o terceiro lado é tal que x² = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × 1/2 = 19, e x = √19 cm.
Erros mais comuns em trigonometria
- Confundir o cateto oposto com o adjacente em relação ao ângulo dado;
- Inverter os valores do seno e do cosseno de 30° e 60°;
- Esquecer a altura do observador em problemas de ângulo de elevação, quando o enunciado a fornece;
- Usar a calculadora em graus quando o problema está em radianos, ou o contrário.
Arcos complementares e suplementares
Dois ângulos são complementares quando somam 90°, e o seno de um é igual ao cosseno do outro: sen x = cos (90° − x). Por isso, sen 30° = cos 60°. Dois ângulos são suplementares quando somam 180°, e vale sen (180° − x) = sen x e cos (180° − x) = −cos x. Assim, sen 150° = sen 30° = 1/2 e cos 120° = −cos 60° = −1/2. Essas relações permitem calcular valores fora do primeiro quadrante.
Adição de arcos e arco duplo
As fórmulas de adição permitem calcular razões de ângulos que são soma ou diferença de ângulos notáveis: sen (a + b) = sen a × cos b + sen b × cos a, e cos (a + b) = cos a × cos b − sen a × sen b. Delas decorrem as fórmulas do arco duplo: sen 2x = 2 × sen x × cos x, e cos 2x = cos²x − sen²x. Por exemplo, sen 75° = sen (45° + 30°) = (√6 + √2) ÷ 4.
Funções trigonométricas
As funções seno e cosseno são periódicas, com período de 2π, ou 360°, e imagem entre −1 e 1. A função tangente tem período π, ou 180°, e não é definida nos ângulos em que o cosseno é zero, como 90° e 270°. Há ainda as razões inversas: a secante, igual a 1 dividido pelo cosseno; a cossecante, igual a 1 dividido pelo seno; e a cotangente, igual a 1 dividido pela tangente.
Exercícios com respostas
- Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 12 e um ângulo agudo mede 30°. Quanto mede o cateto oposto a esse ângulo? Resposta: 12 × 1/2 = 6.
- Quanto vale sen²40° + cos²40°? Resposta: 1, pela relação fundamental.
- Converta 120° em radianos. Resposta: 120 × π ÷ 180 = 2π/3.
- Qual o sinal de cos 200°? Resposta: negativo, porque 200° está no terceiro quadrante.
Como estudar
Memorize a tabela dos ângulos notáveis e a relação fundamental, e treine com problemas práticos de altura e distância, que são os mais cobrados. Depois, estude o ciclo trigonométrico e as leis dos senos e dos cossenos, se o edital pedir.
Trigonometria e semelhança de triângulos
As razões trigonométricas dependem apenas do ângulo, e não do tamanho do triângulo, porque triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes. É essa propriedade que permite medir alturas de prédios, árvores e morros a partir da sombra ou de um ângulo de visão, uma aplicação clássica cobrada nas provas. Quando o enunciado não fornece o ângulo, mas fornece a sombra de um objeto de altura conhecida, basta usar a semelhança de triângulos, tema do guia de geometria plana.
Exemplos de como cai
Afirmação: "O cosseno de 60° é igual a √3/2." Errado. O cosseno de 60° é 1/2.
Afirmação: "Se o seno de um ângulo agudo é 3/5, o seu cosseno é 4/5." Certo. Pela relação fundamental, cos² = 1 − 9/25 = 16/25.
Afirmação: "No segundo quadrante, o cosseno é positivo." Errado. No segundo quadrante, o cosseno é negativo.
Resumo para revisar antes da prova
Seno como oposto sobre hipotenusa, cosseno como adjacente sobre hipotenusa e tangente como oposto sobre adjacente; tabela dos ângulos de 30°, 45° e 60°; sen²x + cos²x = 1; π radianos igual a 180°; sinais nos quatro quadrantes; lei dos senos e lei dos cossenos, que se reduz a Pitágoras no ângulo reto; área pelo seno do ângulo entre dois lados; e problemas de escada, prédio e rampa.
Perguntas frequentes
Como se calculam seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo?
O seno é o cateto oposto ao ângulo dividido pela hipotenusa; o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa; e a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
Quais são os valores do seno de 30°, 45° e 60°?
O seno de 30° é 1/2, o de 45° é √2/2 e o de 60° é √3/2. Os cossenos seguem a ordem inversa: √3/2, √2/2 e 1/2.
O que diz a relação fundamental da trigonometria?
Que, para qualquer ângulo, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é igual a 1: sen²x + cos²x = 1.
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