Atualizado em 25 de setembro de 2026.
Análise combinatória é a parte da Matemática que conta de quantas maneiras algo pode acontecer: quantas senhas são possíveis, quantas comissões podem ser formadas, quantas formas há de organizar uma fila. Em concursos, ela aparece dentro de Raciocínio Lógico e costuma assustar. Mas quase todas as questões se resolvem com uma pergunta: a ordem importa? Se importa, é arranjo ou permutação; se não importa, é combinação.
Este guia apresenta o princípio fundamental da contagem, as fórmulas de permutação, arranjo e combinação e exemplos resolvidos e conferidos. Para os outros temas de Raciocínio Lógico, veja o guia de tabela-verdade e o artigo sobre raciocínio lógico do zero.
O princípio fundamental da contagem
Se uma decisão pode ser tomada de m maneiras e outra decisão, independente, de n maneiras, as duas juntas podem ser tomadas de m × n maneiras. É a ferramenta mais importante do tema: muitas questões se resolvem só com ela, sem fórmula.
Fatorial e simplificação
O fatorial de um número n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1. Nas questões, é comum simplificar fatoriais antes de calcular: 8! ÷ 5! = 8 × 7 × 6 = 336.
Permutação
A permutação conta as formas de ordenar todos os elementos de um conjunto: P(n) = n!.
Permutação com repetição
Quando há elementos repetidos, divide-se pelo fatorial de cada repetição.
Permutação circular
Para organizar n pessoas em volta de uma mesa redonda, em que só importa a posição relativa, usa-se (n − 1)!. Cinco pessoas em uma mesa redonda podem se sentar de 4! = 24 maneiras.
Arranjo: a ordem importa
O arranjo conta as formas de escolher p elementos de um conjunto de n, quando a ordem importa:
A(n, p) = n! ÷ (n − p)!
Combinação: a ordem não importa
A combinação conta as formas de escolher p elementos de n, quando a ordem não importa:
C(n, p) = n! ÷ [p! × (n − p)!]
Compare os dois últimos exemplos: com as mesmas 8 pessoas e 3 escolhidas, o arranjo dá 336 e a combinação dá 56. A diferença é exatamente 3!, o número de formas de ordenar as 3 pessoas escolhidas.
Como decidir qual usar
| Situação | A ordem importa? | Ferramenta |
|---|---|---|
| Senhas, placas, números | Sim | Princípio da contagem ou arranjo |
| Pódio, cargos diferentes, filas | Sim | Arranjo ou permutação |
| Anagramas | Sim, com todos os elementos | Permutação |
| Comissões, grupos, times | Não | Combinação |
| Apertos de mão entre pessoas | Não | Combinação de 2 |
Mais exemplos no estilo das provas
- Apertos de mão: numa reunião com 10 pessoas, se cada uma cumprimenta todas as outras uma vez, quantos apertos de mão ocorrem? C(10, 2) = 45.
- Subconjuntos: um conjunto com 5 elementos tem 2⁵ = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e o próprio conjunto.
- Restrições: quando há condição, como "a senha deve começar com número par", comece preenchendo a posição com restrição e depois as demais pelo princípio da contagem.
Exercícios com respostas
- Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?
- Uma turma tem 6 alunos. De quantas maneiras se podem escolher 2 representantes, com funções iguais?
- Quantos anagramas tem a palavra CONCURSO?
- De quantas maneiras 4 pessoas podem formar uma fila?
Respostas: 1. 5 × 4 × 3 = 60 (a ordem importa). 2. C(6, 2) = 15 (a ordem não importa). 3. CONCURSO tem 8 letras, com o C repetido 2 vezes e o O repetido 2 vezes: 8! ÷ (2! × 2!) = 40.320 ÷ 4 = 10.080. 4. 4! = 24.
Da contagem à probabilidade
A probabilidade de um evento, nos casos mais simples, é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Os dois números costumam ser calculados com as ferramentas deste guia. Por exemplo, a chance de uma comissão de 3 pessoas, sorteada entre 8, incluir uma pessoa específica é o número de comissões que a incluem, C(7, 2) = 21, dividido pelo total de comissões, 56, ou seja, 21/56, que simplifica para 3/8. Por isso, dominar a contagem é o primeiro passo para as questões de probabilidade.
A estratégia do complementar para "pelo menos um"
Quando a questão pede "pelo menos um", costuma ser mais fácil calcular o total e subtrair os casos que não atendem à condição. Por exemplo, para saber quantas comissões de 3 pessoas, entre 5 homens e 3 mulheres, têm pelo menos uma mulher, calcule o total de comissões, C(8, 3) = 56, e subtraia as comissões só de homens, C(5, 3) = 10. O resultado é 46. Contar diretamente os casos com uma, duas ou três mulheres levaria mais tempo e aumentaria o risco de erro.
Separando o problema em casos
Algumas questões têm condições que dividem o problema em situações diferentes, como "a senha começa com vogal ou termina com número par". Nesses casos, conte cada situação separadamente e some os resultados, tomando cuidado para não contar duas vezes os casos que atendem às duas condições. Desenhar as posições em traços, como se fossem espaços a preencher, ajuda a organizar o raciocínio e a visualizar as restrições de cada posição.
Estratégia para resolver na hora da prova
Leia o enunciado procurando três informações: quantos elementos existem, quantos serão escolhidos e se a ordem importa. Com essas respostas, a ferramenta fica definida. Se houver restrição, trate-a primeiro. Se a pergunta for "pelo menos", considere o complementar. Por fim, simplifique os fatoriais antes de multiplicar, porque as alternativas costumam trazer valores próximos, e um erro de conta leva direto à alternativa errada.
Quando sobrar tempo, confira o resultado com um caso pequeno: reduza o problema para dois ou três elementos, conte as possibilidades à mão e veja se a fórmula escolhida dá o mesmo número. Esse teste rápido evita o erro mais comum do tema, que é usar arranjo no lugar de combinação, ou combinação no lugar de arranjo, sem perceber a diferença.
Erros comuns
- Usar combinação quando a ordem importa, ou o contrário.
- Esquecer as repetições nos anagramas.
- Não tratar primeiro as restrições, o que leva a contar casos proibidos.
- Calcular fatoriais inteiros em vez de simplificar, o que gera contas enormes e erros.
Como estudar
Comece pelo princípio fundamental da contagem, resolvendo problemas sem fórmula. Depois, aprenda a distinguir arranjo de combinação com o teste da troca e só então memorize as fórmulas. Resolva questões da sua banca e anote no caderno de erros a pergunta que decidiu cada problema: "a ordem importa?". Com a base de contagem, o passo seguinte natural é probabilidade, que usa exatamente essas ferramentas. Para os cálculos de proporção que aparecem nos mesmos cadernos de prova, veja o guia de porcentagem e regra de três.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo, a ordem dos elementos importa, como em pódio ou cargos diferentes. Na combinação, a ordem não importa, como em comissões ou grupos.
O que é o princípio fundamental da contagem?
Se uma escolha pode ser feita de m maneiras e outra, independente, de n maneiras, as duas juntas podem ser feitas de m vezes n maneiras.
Como calcular anagramas com letras repetidas?
Divida o fatorial do total de letras pelo fatorial de cada repetição. BANANA tem 6! dividido por 3! e 2!, ou seja, 60 anagramas.
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