Atualizado em 25 de setembro de 2026.
As progressões são sequências numéricas com uma regra fixa de formação. Na progressão aritmética, a PA, cada termo é obtido somando uma constante ao anterior; na progressão geométrica, a PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante. O tema aparece em provas de Matemática e Raciocínio Lógico, geralmente em problemas contextualizados, como fileiras de um teatro, depósitos crescentes, crescimento de uma população ou desvalorização de um bem. As fórmulas são poucas, e todos os cálculos deste guia foram conferidos.
As sequências com outras regras, como as de figuras e letras, estão no guia de sequências lógicas.
Progressão aritmética
Na PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, e essa diferença é a razão, r. Exemplos: 3, 7, 11, 15, com r = 4, é crescente; 20, 15, 10, 5, com r = −5, é decrescente; 6, 6, 6, com r = 0, é constante.
Soma dos n primeiros termos: Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2
Exemplo: na PA 3, 7, 11, ..., o décimo termo é a₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39. A soma dos dez primeiros termos é (3 + 39) × 10 ÷ 2 = 210.
A fórmula da soma tem uma origem famosa: a soma dos números de 1 a 100 é (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5.050, porque o primeiro mais o último, o segundo mais o penúltimo e assim por diante sempre somam 101, e há 50 desses pares.
Termo médio
Em uma PA de três termos, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Se x − 2, x + 3 e 2x formam uma PA, então 2 × (x + 3) = (x − 2) + 2x, ou seja, 2x + 6 = 3x − 2, e x = 8. A PA é 6, 11, 16, com razão 5.
Problemas de PA
Teatro: um teatro tem 15 fileiras. A primeira tem 20 cadeiras, e cada fileira seguinte tem 2 cadeiras a mais que a anterior. Quantas cadeiras há na última fileira e no total? A última é a₁₅ = 20 + 14 × 2 = 48. O total é (20 + 48) × 15 ÷ 2 = 510 cadeiras.
Depósitos crescentes: uma pessoa deposita R$ 100 no primeiro mês e, a cada mês, R$ 10 a mais que no anterior. Quanto deposita no 12º mês, e quanto terá depositado no total? O 12º depósito é 100 + 11 × 10 = R$ 210. O total é (100 + 210) × 12 ÷ 2 = R$ 1.860, sem considerar juros.
Progressão geométrica
Na PG, a divisão de um termo pelo anterior é sempre a mesma, e esse quociente é a razão, q. Exemplos: 2, 6, 18, 54, com q = 3; 80, 40, 20, 10, com q = 1/2.
Soma dos n primeiros termos: Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1), para q ≠ 1
Soma infinita: S = a₁ ÷ (1 − q), para −1 < q < 1
Exemplo: na PG 2, 6, 18, ..., o quinto termo é a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. A soma dos cinco primeiros termos é 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 242 ÷ 2 = 242. Confira: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Soma infinita: a PG 10, 5, 2,5, 1,25, ... tem razão 1/2. Seus termos ficam cada vez menores, e a soma de todos eles se aproxima de 10 ÷ (1 − 1/2) = 20.
Termo médio na PG
Em uma PG de três termos positivos, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois: o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Na PG 4, 12, 36, temos 12² = 144 = 4 × 36.
Problemas de PG resolvidos
Bactérias: uma colônia começa com uma bactéria, e a população dobra a cada hora. Quantas bactérias haverá depois de 10 horas? São 2¹⁰ = 1.024.
Desvalorização: um carro de R$ 50.000 perde 10% de valor ao ano. Cada ano, o valor é multiplicado por 0,9, formando uma PG. Depois de 3 anos, vale 50.000 × 0,9³ = R$ 36.450. Repare que a perda não é de 30%, e sim de 27,1%, porque cada desconto incide sobre o valor já reduzido.
Relação entre progressões e funções
A PA é uma função afim restrita aos números naturais: seus termos, representados em um gráfico, ficam sobre uma reta, e a razão faz o papel do coeficiente angular. A PG com razão maior que 1 corresponde a um crescimento exponencial, muito mais rápido que o linear. Essa comparação ajuda a entender enunciados que contrastam crescimentos, tema do guia de funções.
Interpolação de meios aritméticos e geométricos
Interpolar meios é inserir termos entre dois números de modo que todos formem uma progressão. Para inserir cinco meios aritméticos entre 2 e 20, a PA terá 7 termos, com a₁ = 2 e a₇ = 20. Pelo termo geral, 20 = 2 + 6r, então r = 3, e a PA é 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Para inserir dois meios geométricos entre 3 e 81, a PG terá 4 termos: 81 = 3 × q³, então q³ = 27 e q = 3, e a PG é 3, 9, 27, 81. O ponto de atenção é contar corretamente o número de termos: os meios mais os dois extremos.
Erros mais comuns nas questões de progressão
- Usar n no lugar de n − 1 no termo geral: o décimo termo tem nove razões somadas ao primeiro, e não dez.
- Somar a razão na PG ou multiplicar na PA.
- Aplicar a soma infinita a uma PG com razão maior que 1, que não tem soma finita.
- Tratar um aumento percentual como PA, quando ele forma uma PG.
- Contar mal o número de termos na interpolação.
Revisão rápida das fórmulas
Antes da prova, confira: na PA, aₙ = a₁ + (n − 1)r e Sₙ = (a₁ + aₙ)n ÷ 2; o termo médio é a média aritmética dos vizinhos. Na PG, aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ e a soma infinita, com razão entre −1 e 1, é a₁ ÷ (1 − q); o termo médio é a média geométrica dos vizinhos. Valor fixo indica PA; percentual indica PG. Na dúvida, escreva os três primeiros termos e observe se a diferença ou o quociente se repete.
Encontrando a razão a partir de dois termos quaisquer
Muitas questões dão dois termos quaisquer e pedem a razão. Na PA, se a₃ = 10 e a₈ = 25, a diferença entre as posições é 5, então 5r = 25 − 10 = 15 e r = 3. Na PG, se a₂ = 6 e a₅ = 162, então q³ = 162 ÷ 6 = 27 e q = 3. A lógica é a mesma nos dois casos: o número de "passos" entre os termos é a diferença entre as posições.
Exercícios com respostas
- Qual o 20º termo da PA 5, 8, 11, ...?
- Qual a soma dos 20 primeiros termos dessa PA?
- Qual o sexto termo da PG 3, 6, 12, ...?
- Qual a soma infinita da PG 9, 3, 1, ...?
Respostas: 1. a₂₀ = 5 + 19 × 3 = 62. 2. (5 + 62) × 20 ÷ 2 = 670. 3. a₆ = 3 × 2⁵ = 96. 4. A razão é 1/3, e a soma é 9 ÷ (1 − 1/3) = 13,5.
Como o tema cai em prova
As questões mais comuns pedem um termo em determinada posição, a soma de vários termos, a razão a partir de dois termos ou a identificação de uma PA ou PG escondida em um problema. Antes de calcular, identifique o primeiro termo, a razão e a posição pedida, e confira se o enunciado fala em valor fixo, que indica PA, ou em percentual, que indica PG. Registre os erros no caderno de erros.
Perguntas frequentes
Qual a fórmula do termo geral da PA?
aₙ = a₁ + (n − 1) × r, em que a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. Na PA 3, 7, 11, ..., o décimo termo é 3 + 9 × 4 = 39.
Como calcular a soma dos termos de uma PA?
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2. A soma dos números de 1 a 100, por exemplo, é (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5.050.
Quando a PG infinita tem soma?
Quando a razão está entre −1 e 1, excluído o zero. Nesse caso, a soma é a₁ ÷ (1 − q). A PG 10, 5, 2,5, ... tem soma 20.
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