Atualizado em 25 de setembro de 2026.
A função exponencial e os logaritmos aparecem em concursos de nível médio e superior, principalmente nas provas de matemática de bancos, de áreas técnicas e em questões de matemática financeira, crescimento populacional e decaimento. As questões costumam pedir a resolução de equações exponenciais e o uso das propriedades dos logaritmos, muitas vezes com valores aproximados fornecidos no enunciado. Este guia resume os pontos mais cobrados, com exemplos resolvidos. As funções do primeiro e do segundo grau estão no guia de funções.
Propriedades das potências
- Produto de mesma base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ;
- Quociente de mesma base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ;
- Potência de potência: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ;
- Expoente zero: a⁰ = 1, para a diferente de zero;
- Expoente negativo: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ;
- Expoente fracionário: a elevado a m/n é igual à raiz de índice n de aᵐ.
Equações exponenciais e bases iguais
Uma equação exponencial tem a incógnita no expoente. A estratégia principal é escrever os dois lados como potências de mesma base e igualar os expoentes. Exemplos: 2ˣ = 32 equivale a 2ˣ = 2⁵, e x = 5; 3ˣ⁺¹ = 81 equivale a 3ˣ⁺¹ = 3⁴, e x = 3; 4ˣ = 8 equivale a 2²ˣ = 2³, e x = 3/2. Quando não é possível igualar as bases, aplicam-se logaritmos aos dois lados.
A função exponencial e o seu gráfico
A função exponencial tem a forma f(x) = aˣ, com a base a positiva e diferente de 1. O gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1), porque a⁰ = 1, e a função assume apenas valores positivos. Se a base é maior que 1, a função é crescente; se a base está entre 0 e 1, a função é decrescente. Ela modela fenômenos de crescimento ou decrescimento proporcional, como juros compostos, crescimento de populações e decaimento radioativo.
O que é um logaritmo
O logaritmo de um número a, na base b, é o expoente x ao qual se deve elevar b para obter a: log de a na base b = x se, e somente se, bˣ = a. As condições de existência são: a maior que zero e base b maior que zero e diferente de 1. Exemplos: o logaritmo de 8 na base 2 é 3, porque 2³ = 8; o logaritmo de 100 na base 10 é 2, porque 10² = 100. Quando a base não é indicada, trata-se do logaritmo decimal, de base 10. Decorrem da definição que o logaritmo de 1 em qualquer base é 0 e o logaritmo da própria base é 1.
Propriedades operatórias
- Produto: log(a × c) = log a + log c;
- Quociente: log(a ÷ c) = log a − log c;
- Potência: log(aⁿ) = n × log a;
- Mudança de base: o logaritmo de a na base b é igual a log a ÷ log b, em qualquer base comum.
Aplicações em juros e crescimento
Juros compostos: em quanto tempo um capital dobra a juros de 10% ao ano? É preciso resolver 1,1ⁿ = 2. Aplicando logaritmos, n = log 2 ÷ log 1,1. Com log 2 ≈ 0,301 e log 1,1 ≈ 0,041, n ≈ 7,3 anos. O tema está no guia de matemática financeira.
Crescimento populacional: uma população de bactérias dobra a cada hora. Partindo de 1.000 bactérias, depois de t horas haverá 1.000 × 2ᵗ. Depois de 5 horas, serão 1.000 × 32 = 32.000 bactérias.
Meia-vida: uma substância perde metade da massa a cada período de meia-vida. Após três períodos, restará 1/8 da massa inicial, porque (1/2)³ = 1/8.
Exercícios resolvidos com respostas
- Resolva 5ˣ⁻² = 125. Resposta: 125 = 5³, então x − 2 = 3 e x = 5.
- Calcule o logaritmo de 81 na base 3. Resposta: 3⁴ = 81, então o logaritmo é 4.
- Sabendo que log 2 ≈ 0,301, calcule log 20. Resposta: log 20 = log 2 + log 10 ≈ 0,301 + 1 = 1,301.
- Calcule o logaritmo de 1/4 na base 2. Resposta: 1/4 = 2⁻², então o logaritmo é −2.
A função logarítmica
A função logarítmica, f(x) = log de x na base a, é a inversa da função exponencial. Seu domínio são os números reais positivos, e o gráfico sempre passa pelo ponto (1, 0), porque o logaritmo de 1 é zero em qualquer base. Assim como a exponencial, ela é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1. Os gráficos da exponencial e da logarítmica de mesma base são simétricos em relação à reta y = x.
Equações logarítmicas
Para resolver uma equação logarítmica, aplica-se a definição ou as propriedades para eliminar o logaritmo, e depois se verifica a condição de existência. Exemplo: log de (x − 1) na base 2 = 3 equivale a x − 1 = 2³, e x = 9, que satisfaz a condição x − 1 maior que zero. Outro exemplo: log x + log (x − 3) = 1 equivale a log [x × (x − 3)] = 1, ou seja, x² − 3x = 10, com soluções 5 e −2; mas só x = 5 serve, porque o logaritmo de número negativo não existe.
O logaritmo natural
Além do logaritmo decimal, de base 10, é muito usado o logaritmo natural, de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,718. Ele aparece em modelos de crescimento contínuo, em juros compostos continuamente e em diversas áreas da ciência e da estatística. Nas provas, a base e costuma aparecer com o valor aproximado fornecido no enunciado.
Erros mais comuns
- Confundir log(a + b) com log a + log b;
- Esquecer de verificar a condição de existência nas equações logarítmicas;
- Não converter os números para a mesma base antes de igualar os expoentes;
- Errar o sinal do expoente negativo, como em 2⁻³ = 1/8.
Como estudar
Revise as propriedades das potências antes de estudar os logaritmos, e treine as equações exponenciais e logarítmicas com exercícios, sempre usando os valores aproximados fornecidos nas provas.
Relação com as progressões
A função exponencial está ligada à progressão geométrica: quando x cresce de 1 em 1, os valores de aˣ formam uma progressão geométrica de razão a. Por isso, problemas de crescimento percentual constante, como juros compostos e inflação acumulada, podem ser resolvidos tanto com progressões quanto com exponenciais, tema do guia de progressões.
Exemplos de como cai
Afirmação: "A função f(x) = (1/2)ˣ é crescente." Errado. Com base entre 0 e 1, a função é decrescente.
Afirmação: "O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos." Certo. É a propriedade do produto.
Afirmação: "Existe o logaritmo de um número negativo na base 10." Errado. O logaritmando deve ser positivo.
Resumo para revisar antes da prova
Propriedades das potências, com expoente zero, negativo e fracionário; equações exponenciais resolvidas igualando as bases; função exponencial passando por (0, 1), crescente com base maior que 1 e decrescente com base entre 0 e 1; logaritmo como expoente, com logaritmando e base positivos e base diferente de 1; logaritmo de 1 igual a 0 e da base igual a 1; propriedades do produto, do quociente e da potência; mudança de base; log 2 ≈ 0,301 e log 3 ≈ 0,477; e aplicações em juros compostos, crescimento e meia-vida.
Perguntas frequentes
O que é um logaritmo?
O logaritmo de um número positivo a na base b, positiva e diferente de 1, é o expoente x ao qual se deve elevar a base para obter a: log de a na base b é igual a x se, e somente se, b elevado a x é igual a a.
Quais são as principais propriedades dos logaritmos?
O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos; o do quociente é a diferença; e o logaritmo de uma potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência.
Como resolver uma equação exponencial?
Sempre que possível, escrevem-se os dois lados como potências de mesma base e igualam-se os expoentes. Por exemplo, 2 elevado a x igual a 32 equivale a 2 elevado a x igual a 2 elevado a 5, e x é igual a 5. Quando não é possível, usam-se logaritmos.
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